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  变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支,是处理函数的数学领域,和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题,最终由数学家研究解决。

  有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

  欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程,在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说,变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。

  值得指出的是,E-L方程只是泛函有极值的必要条件,并不是充分条件。就是说,当泛函有极值时,E-L方程成立。在应用中,外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。

  所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导,并且这种推导在某些意义上有些不太严谨,完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明,但是就我们所要用的层面而言,也是足够的了。

  变分法概念与寻常分析中的微分概念很为类似,但所联系的不是x的变化,而是函数y(x)的变化。如果函数y(x)使U(y)达其极值,则U的变分δU变为0。

  几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一泛函的变分应该是0的“变分法原理”,由于这个原故变分法使许多重要的物理问题及技术问题得以解决。

  变分法(calculus of variations)是处理函数的函数的数学领域,和处理数的函数的普通微积分相对。譬如,这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

  变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。

  变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,vnsr威尼斯城官网登入黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

  同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,摩尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工,称为Plateau问题。

  展开全部在实践中,除了需要确定某一个函数y=f(x)的极值以外,还常常需要去求一类特殊的量——所谓泛函的极值.简单地说,泛函就是函数的函数.即如果一个因变量,它的值是由一个或几个函数的选取而确定的,那么这个因变量就称为泛函数,简称泛函.而在中学里所学习的函数,其因变量仅仅由自变量(数值)的选取而确定的.

  例如,在最速降线问题中,从A点运动到B点所需要的时间T,是由从A点到B点所选取的曲线来确定的.当这条曲线的方程y=f(x)已经选定,那么时间T是可以算出的.这就是说,时间T是函数f(x)的一个泛函.要找使T取最小值的函数y=f(x)卿最速降线的方程),就是一个变分问题.

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