微分几何中的测地线vnsr威尼斯城官网登入的研究是很显然的变分性质的领域

当前位置:vns6060威尼斯城官网 > vnsr威尼斯城官网登入 > 微分几何中的测地线vnsr威尼斯城官网登入的研究是很显然的变分性质的领域
作者: vns6060威尼斯城官网|来源: http://www.oneblack.net|栏目:vnsr威尼斯城官网登入

文章关键词:vns6060威尼斯城官网,一阶变分

  可选中1个或多个下面的关键词,搜索相关资料。vnsr威尼斯城官网登入也可直接点“搜索资料”搜索整个问题。

  变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值(或者两者都不是)。

  变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

  同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,摩尔斯理论,或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工作,称为Plateau问题。 欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程,在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说,变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。

  值得指出的是,E-L方程只是泛函有极值的必要条件,并不是充分条件。就是说,当泛函有极值时,E-L方程成立。在应用中,外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导,并且这种推导在某些意义上有些不太严谨,完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明,但是就我们所要用的层面而言,也是足够的了。 对于泛函

  固定两个端点,在泛函S取到极值时的函数记作g(x),定义与这个函数“靠近”的一个函数,vnsr威尼斯城官网登入h(x)=g(x)+δg(x),其中δg(x)在从x1到x2上都是小量,同时也满足,

  因为在从任何函数代替g(x)都会使得泛函S取不到极值,所以用h(x)代替g(x)使得作用量产生了增量,为,

  将第一项 按照δg(x)和δg(x)幂级数打开,并且注意到δg(x)和δg(x)永远是小量,舍弃掉二次项及以上高次项,可得关于δg(x)和δg(x)一次项的和。则S取到极值的必要条件就是这些项的和的值为0.这些和称之为S的一阶变分(或者简称变分),变分为0记作,

  于是对任何小的函数δg(x)该积分都等于0,于是只有被积函数等于0的时候才有可能。(这个论断是不严谨的,这里应该由Du Bois Reymond 引理给出)于是我们得到方程,

  在力学上,这里的g用任何一个广义坐标q表示,x用t代替,而L(拉格朗日量)=T(动能)-V(势能),那么拉格朗日方程则为,

网友评论

我的2016年度评论盘点
还没有评论,快来抢沙发吧!